Высшая математика для экономистов. Уч. пособие. Гриф УМО РФ
Книга является учебным пособием по курсу высшей математики для экономистов и содержит многочисленные приложения математики в экономике. Соответствует Государственному образовательному стандарту.
Учебное пособие адресовано в первую очередь студентам экономических специальностей вузов. Однако о
Учебное пособие адресовано в первую очередь студентам экономических специальностей вузов. Однако о
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Л е к ц и я 1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 1.1. Понятие матрицы. Основные определения . . . . . . . . . . . 13
§ 1.2. Действия над матрицами и их свойства . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 1.3. Применение матриц при решении экономических за-
дач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Л е к ц и я 2. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.1. Определители квадратных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.2. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Л е к ц и я 3. Обратная матрица. Ранг матрицы . . . . . . . . . 37
§ 3.1. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 3.2. Линейная зависимость строк матрицы . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 3.3. Элементарные преобразования матриц. Приведение
матрицы к ступенчатому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 3.4. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Л е к ц и я 4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 47
§ 4.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 4.2. Критерий совместности неоднородной системы линей-
ных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли . . . . . . . . 49
§ 4.3. Квадратные неоднородные системы линейных уравне-
ний. Метод обратной матрицы и формулы Крамера . 50
§ 4.4. Правило отыскания решений общей системы линей-
ных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Оглавление
Л е к ц и я 5. Системы линейных уравнений (продол-
жение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 5.1. Нахождение решений произвольной системы линей-
ных уравнений. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 5.2. Критерий нетривиальной совместности однородной
системы линейных уравнений. Свойства решений . . . 60
§ 5.3. Фундаментальная система решений однородной систе-
мы линейных уравнений. Структура общего решения 62
§ 5.4. Структура общего решения неоднородной системы ли-
нейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Л е к ц и я 6. Балансовый анализ (модель многоотрас-
левой экономики Леонтьева) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 6.1. Постановка задачи межотраслевого баланса . . . . . . . . . 67
§ 6.2. Критерии продуктивности технологической матрицы 70
§ 6.3. Экономический смысл матрицы полных затрат . . . . . . 71
Л е к ц и я 7. Векторы на плоскости и в пространстве . . 73
§ 7.1. Понятие вектора. Основные определения . . . . . . . . . . . . 73
§ 7.2. Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 7.3. Коллинеарные и компланарные векторы . . . . . . . . . . . . . 77
Л е к ц и я 8. Прямоугольная система координат . . . . . . . . 80
§ 8.1. Прямоугольная система координат на плоскости и в
пространстве. Координаты вектора и точки . . . . . . . . . 80
§ 8.2. Координаты суммы векторов и произведения вектора
на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 8.3. Условие коллинеарности двух векторов . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 8.4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками . . . 84
Л е к ц и я 9. Скалярное и векторное произведения век-
торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 9.1. Скалярное произведение двух векторов. Основные
свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 9.2. Выражение скалярного произведения через прямо-
угольные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Оглавление 5
§ 9.3. Векторное произведение двух векторов . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 9.4. Выражение векторного произведения через прямо-
угольные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Л е к ц и я 10.Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 10.1. Понятие линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 10.2. Линейная зависимость элементов линейного про-
странства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 10.3. Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 10.4. Размерность линейного пространства. Изоморфизм . . 98
Л е к ц и я 11.Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 11.1. Понятие линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 11.2. Собственные значения и собственные векторы линей-
ного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§ 11.3. Модель международной торговли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Л е к ц и я 12.Прямые линии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 12.1. Уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 12.2. Нормальный вектор прямой. Расстояние от точки до
прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 12.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 12.4. Точка пересечения прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Л е к ц и я 13. Плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 13.1. Уравнения плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 13.2. Нормальный вектор плоскости. Расстояние точки до
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 13.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллель-
ности и перпендикулярности двух плоскостей . . . . . . . 125
Л е к ц и я 14.Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 14.1. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 14.2. Фокальное свойство эллипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 14.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 14.4. Фокальное свойство гиперболы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 14.5. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Оглавление
Л е к ц и я 15. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 15.1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 15.2. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 15.3. Числовые промежутки. Окрестность точки . . . . . . . . . . 136
§ 15.4. Понятие предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 15.5. Теоремы о сходящихся последовательностях . . . . . . . . . 139
§ 15.6. Монотонные последовательности. Число е . . . . . . . . . . . 141
§ 15.7. Задача о непрерывном начислении процентов . . . . . . . . 142
Л е к ц и я 16.Функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 16.1. Понятие функции и способы ее задания . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 16.2. Применение функций в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 16.3. Паутинообразная модель рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 16.4. Арифметические действия над функциями. Слож-
ная и обратная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
§ 16.5. Основные элементарные функции и их графики . . . . . 151
Л е к ц и я 17. Предел и непрерывность функции . . . . . . . . 155
§ 17.1. Понятие предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§ 17.2. Основные теоремы о пределах функций . . . . . . . . . . . . . . 157
§ 17.3. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 17.4. Бесконечно малые функции. Основные свойства . . . . . 162
§ 17.5. Понятие непрерывности функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§ 17.6. Арифметические операции над непрерывными функ-
циями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 17.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . 166
Л е к ц и я 18. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 18.1. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 18.2. Геометрическая интерпретация производной. Каса-
тельная к графику функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 18.3. Экономические интерпретации производной . . . . . . . . . 171
§ 18.4. Дифференцирование суммы, разности, произведения
и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 18.5. Дифференцирование сложной и обратной функций . . 173
§ 18.6. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Л е к ц и я 19.Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
§ 19.1. Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
§ 19.2. Дифференциал суммы, разности, произведения
и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Оглавление 7
§ 19.3. Таблица дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
§ 19.4. Производные и дифференциалы высших порядков . . . 179
Л е к ц и я 20. Основные теоремы дифференциального
исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 20.1. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 20.2. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 20.3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя . . . 186
§ 20.4. Предельный анализ в экономике. Эластичность функ-
ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Л е к ц и я 21. Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
§ 21.1. Условия возрастания и убывания функций . . . . . . . . . . . 193
§ 21.2. Экстремумы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 21.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на от-
резке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 21.4. Направление выпуклости графика функции . . . . . . . . . 198
§ 21.5. Точки перегиба графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
§ 21.6. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 21.7. Общая схема исследования функций и построение гра-
фиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 21.8. Приложения производной в экономике . . . . . . . . . . . . . . . 205
Л е к ц и я 22.Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
§ 22.1. Понятие комплексного числа. Действия с комплексны-
ми числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
§ 22.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа . . 208
§ 22.3. Тригонометрическая форма комплексного числа . . . . . 210
§ 22.4. Показательная форма комплексного числа . . . . . . . . . . . 215
§ 22.5. Извлечение корней из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . 217
Л е к ц и я 23. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 23.1. Понятия первообразной функции и неопределенного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 23.2. Основные свойства неопределенного интеграла . . . . . . 223
§ 23.3. Таблица основных неопределенных интегралов . . . . . . 224
§ 23.4. Замена переменной в неопределенном интеграле . . . . . 226
§ 23.5. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8 Оглавление
Л е к ц и я 24. Интегрирование рациональных функций 230
§ 24.1. Алгебраические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
§ 24.2. Рациональные функции. Разложение на простей-
шие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§ 24.3. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . 236
§ 24.4. Интегрирование квадратичных иррациональностей . . 238
Л е к ц и я 25. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 25.1. Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 25.2. Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . 243
§ 25.3. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§ 25.4. Замена переменной в определенном интеграле . . . . . . . 247
§ 25.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле 248
§ 25.6. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Л е к ц и я 26. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
§ 26.1. Понятие функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . 255
§ 26.2. Предел и непрерывность функции двух переменных . 256
§ 26.3. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
§ 26.4. Частные производные высших порядков. Теоре-
ма о равенстве смешанных производных . . . . . . . . . . . . . 260
§ 26.5. Дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§ 26.6. Дифференциал функции. Правила дифференцирова-
ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Л е к ц и я 27. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 27.1. Экстремумы функции многих переменных . . . . . . . . . . . 265
§ 27.2. Экономическое приложение частных производных . . . 268
§ 27.3. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Л е к ц и я 28.Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . 273
§ 28.1. Дифференциальные уравнения. Общие понятия . . . . . 273
§ 28.2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Зада-
ча Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§ 28.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися пе-
ременными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Оглавление 9
Л е к ц и я 29.Дифференциальные уравнения первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 29.1. Однородные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . 281
§ 29.2. Дифференциальные уравнения в полных дифферен-
циалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
§ 29.3. Линейные дифференциальные уравнения первого по-
рядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Л е к ц и я 30.Дифференциальные уравнения высших
порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
§ 30.1. Дифференциальные уравнения, допускающие пони-
жение порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
§ 30.2. Линейные дифференциальные уравнения высших по-
рядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
§ 30.3. Линейная зависимость и линейная независимость си-
стемы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Л е к ц и я 31.Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
§ 31.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
??-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . 296
§ 31.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравне-
ния ??-го порядка с постоянными коэффициентами . . 301
§ 31.3. Применение дифференциальных уравнений в эконо-
мике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Л е к ц и я 32. Числовые ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
§ 32.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся
ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
§ 32.2. Действия с рядами. Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 311
§ 32.3. Необходимое условие сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . 314
§ 32.4. Положительные ряды. Теоремы сравнения рядов . . . . 315
Л е к ц и я 33. Признаки сходимости положительных
рядов. Знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
§ 33.1. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
§ 33.2. Признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
§ 33.3. Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
§ 33.4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница . . . . . . . . 326
§ 33.5. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теоремы Ди-
рихле и Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10 Оглавление
Л е к ц и я 34. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
§ 34.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости 332
§ 34.2. Дифференцирование и интегрирование степенных ря-
дов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
§ 34.3. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 338
§ 34.4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд
Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Л е к ц и я 1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 1.1. Понятие матрицы. Основные определения . . . . . . . . . . . 13
§ 1.2. Действия над матрицами и их свойства . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 1.3. Применение матриц при решении экономических за-
дач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Л е к ц и я 2. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.1. Определители квадратных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.2. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Л е к ц и я 3. Обратная матрица. Ранг матрицы . . . . . . . . . 37
§ 3.1. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 3.2. Линейная зависимость строк матрицы . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 3.3. Элементарные преобразования матриц. Приведение
матрицы к ступенчатому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 3.4. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Л е к ц и я 4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 47
§ 4.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 4.2. Критерий совместности неоднородной системы линей-
ных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли . . . . . . . . 49
§ 4.3. Квадратные неоднородные системы линейных уравне-
ний. Метод обратной матрицы и формулы Крамера . 50
§ 4.4. Правило отыскания решений общей системы линей-
ных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Оглавление
Л е к ц и я 5. Системы линейных уравнений (продол-
жение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 5.1. Нахождение решений произвольной системы линей-
ных уравнений. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 5.2. Критерий нетривиальной совместности однородной
системы линейных уравнений. Свойства решений . . . 60
§ 5.3. Фундаментальная система решений однородной систе-
мы линейных уравнений. Структура общего решения 62
§ 5.4. Структура общего решения неоднородной системы ли-
нейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Л е к ц и я 6. Балансовый анализ (модель многоотрас-
левой экономики Леонтьева) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 6.1. Постановка задачи межотраслевого баланса . . . . . . . . . 67
§ 6.2. Критерии продуктивности технологической матрицы 70
§ 6.3. Экономический смысл матрицы полных затрат . . . . . . 71
Л е к ц и я 7. Векторы на плоскости и в пространстве . . 73
§ 7.1. Понятие вектора. Основные определения . . . . . . . . . . . . 73
§ 7.2. Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 7.3. Коллинеарные и компланарные векторы . . . . . . . . . . . . . 77
Л е к ц и я 8. Прямоугольная система координат . . . . . . . . 80
§ 8.1. Прямоугольная система координат на плоскости и в
пространстве. Координаты вектора и точки . . . . . . . . . 80
§ 8.2. Координаты суммы векторов и произведения вектора
на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 8.3. Условие коллинеарности двух векторов . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 8.4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками . . . 84
Л е к ц и я 9. Скалярное и векторное произведения век-
торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 9.1. Скалярное произведение двух векторов. Основные
свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 9.2. Выражение скалярного произведения через прямо-
угольные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Оглавление 5
§ 9.3. Векторное произведение двух векторов . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 9.4. Выражение векторного произведения через прямо-
угольные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Л е к ц и я 10.Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 10.1. Понятие линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 10.2. Линейная зависимость элементов линейного про-
странства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 10.3. Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 10.4. Размерность линейного пространства. Изоморфизм . . 98
Л е к ц и я 11.Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 11.1. Понятие линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 11.2. Собственные значения и собственные векторы линей-
ного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§ 11.3. Модель международной торговли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Л е к ц и я 12.Прямые линии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 12.1. Уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 12.2. Нормальный вектор прямой. Расстояние от точки до
прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 12.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 12.4. Точка пересечения прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Л е к ц и я 13. Плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 13.1. Уравнения плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 13.2. Нормальный вектор плоскости. Расстояние точки до
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 13.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллель-
ности и перпендикулярности двух плоскостей . . . . . . . 125
Л е к ц и я 14.Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 14.1. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 14.2. Фокальное свойство эллипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 14.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 14.4. Фокальное свойство гиперболы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 14.5. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Оглавление
Л е к ц и я 15. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 15.1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 15.2. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 15.3. Числовые промежутки. Окрестность точки . . . . . . . . . . 136
§ 15.4. Понятие предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 15.5. Теоремы о сходящихся последовательностях . . . . . . . . . 139
§ 15.6. Монотонные последовательности. Число е . . . . . . . . . . . 141
§ 15.7. Задача о непрерывном начислении процентов . . . . . . . . 142
Л е к ц и я 16.Функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 16.1. Понятие функции и способы ее задания . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 16.2. Применение функций в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 16.3. Паутинообразная модель рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 16.4. Арифметические действия над функциями. Слож-
ная и обратная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
§ 16.5. Основные элементарные функции и их графики . . . . . 151
Л е к ц и я 17. Предел и непрерывность функции . . . . . . . . 155
§ 17.1. Понятие предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§ 17.2. Основные теоремы о пределах функций . . . . . . . . . . . . . . 157
§ 17.3. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 17.4. Бесконечно малые функции. Основные свойства . . . . . 162
§ 17.5. Понятие непрерывности функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§ 17.6. Арифметические операции над непрерывными функ-
циями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 17.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . 166
Л е к ц и я 18. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 18.1. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 18.2. Геометрическая интерпретация производной. Каса-
тельная к графику функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 18.3. Экономические интерпретации производной . . . . . . . . . 171
§ 18.4. Дифференцирование суммы, разности, произведения
и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 18.5. Дифференцирование сложной и обратной функций . . 173
§ 18.6. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Л е к ц и я 19.Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
§ 19.1. Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
§ 19.2. Дифференциал суммы, разности, произведения
и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Оглавление 7
§ 19.3. Таблица дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
§ 19.4. Производные и дифференциалы высших порядков . . . 179
Л е к ц и я 20. Основные теоремы дифференциального
исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 20.1. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 20.2. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 20.3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя . . . 186
§ 20.4. Предельный анализ в экономике. Эластичность функ-
ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Л е к ц и я 21. Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
§ 21.1. Условия возрастания и убывания функций . . . . . . . . . . . 193
§ 21.2. Экстремумы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 21.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на от-
резке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 21.4. Направление выпуклости графика функции . . . . . . . . . 198
§ 21.5. Точки перегиба графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
§ 21.6. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 21.7. Общая схема исследования функций и построение гра-
фиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 21.8. Приложения производной в экономике . . . . . . . . . . . . . . . 205
Л е к ц и я 22.Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
§ 22.1. Понятие комплексного числа. Действия с комплексны-
ми числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
§ 22.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа . . 208
§ 22.3. Тригонометрическая форма комплексного числа . . . . . 210
§ 22.4. Показательная форма комплексного числа . . . . . . . . . . . 215
§ 22.5. Извлечение корней из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . 217
Л е к ц и я 23. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 23.1. Понятия первообразной функции и неопределенного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 23.2. Основные свойства неопределенного интеграла . . . . . . 223
§ 23.3. Таблица основных неопределенных интегралов . . . . . . 224
§ 23.4. Замена переменной в неопределенном интеграле . . . . . 226
§ 23.5. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8 Оглавление
Л е к ц и я 24. Интегрирование рациональных функций 230
§ 24.1. Алгебраические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
§ 24.2. Рациональные функции. Разложение на простей-
шие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§ 24.3. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . 236
§ 24.4. Интегрирование квадратичных иррациональностей . . 238
Л е к ц и я 25. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 25.1. Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 25.2. Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . 243
§ 25.3. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§ 25.4. Замена переменной в определенном интеграле . . . . . . . 247
§ 25.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле 248
§ 25.6. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Л е к ц и я 26. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
§ 26.1. Понятие функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . 255
§ 26.2. Предел и непрерывность функции двух переменных . 256
§ 26.3. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
§ 26.4. Частные производные высших порядков. Теоре-
ма о равенстве смешанных производных . . . . . . . . . . . . . 260
§ 26.5. Дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§ 26.6. Дифференциал функции. Правила дифференцирова-
ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Л е к ц и я 27. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 27.1. Экстремумы функции многих переменных . . . . . . . . . . . 265
§ 27.2. Экономическое приложение частных производных . . . 268
§ 27.3. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Л е к ц и я 28.Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . 273
§ 28.1. Дифференциальные уравнения. Общие понятия . . . . . 273
§ 28.2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Зада-
ча Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§ 28.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися пе-
ременными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Оглавление 9
Л е к ц и я 29.Дифференциальные уравнения первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 29.1. Однородные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . 281
§ 29.2. Дифференциальные уравнения в полных дифферен-
циалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
§ 29.3. Линейные дифференциальные уравнения первого по-
рядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Л е к ц и я 30.Дифференциальные уравнения высших
порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
§ 30.1. Дифференциальные уравнения, допускающие пони-
жение порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
§ 30.2. Линейные дифференциальные уравнения высших по-
рядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
§ 30.3. Линейная зависимость и линейная независимость си-
стемы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Л е к ц и я 31.Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
§ 31.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
??-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . 296
§ 31.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравне-
ния ??-го порядка с постоянными коэффициентами . . 301
§ 31.3. Применение дифференциальных уравнений в эконо-
мике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Л е к ц и я 32. Числовые ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
§ 32.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся
ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
§ 32.2. Действия с рядами. Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 311
§ 32.3. Необходимое условие сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . 314
§ 32.4. Положительные ряды. Теоремы сравнения рядов . . . . 315
Л е к ц и я 33. Признаки сходимости положительных
рядов. Знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
§ 33.1. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
§ 33.2. Признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
§ 33.3. Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
§ 33.4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница . . . . . . . . 326
§ 33.5. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теоремы Ди-
рихле и Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10 Оглавление
Л е к ц и я 34. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
§ 34.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости 332
§ 34.2. Дифференцирование и интегрирование степенных ря-
дов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
§ 34.3. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 338
§ 34.4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд
Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время в связи с возросшей ролью математики
в экономической науке будущие экономисты нуждаются в се-
рьезной математической подготовке, которая давала бы возмож-
ность математическими методами исследовать широкий круг
экономических задач и использовать теоретические знания на
практике. Для этого, по меньшей мере, необходимо получение
ими правильного общего представления о том, что такое мате-
матика и математическое моделирование.
Несомненно, математика имеет определенное мировоззрен-
ческое значение, но для специалистов по экономике математика
является в большей мере инструментом анализа, организации,
управления.
Принципиальной проблемой математического образования
является выбор объема и содержания математических курсов,
учитывая ограниченность времени, отводимого на изучение ма-
тематики.
С учетом этих реалий и написана данная книга. Она содер-
жит 34 лекции и охватывает традиционный курс высшей ма-
тематики для экономических специальностей вузов, рассчитан-
ный, как правило, на один учебный год. Книгу можно разде-
лить условно на следующие разделы: основы линейной алгеб-
ры (лекции 1-5, 10-11), аналитическая геометрия (лекции 7-9,
12-14), основы математического анализа (лекции 15-21, 23-27),
комплексные числа (лекция 22), дифференциальные уравнения
(лекции 28-31), ряды (лекции 32-34). Отдельная лекция 6 посвя-
щена балансовому анализу.
Книга содержит достаточно много примеров, иллюстриру-
12
ющих рассматриваемые понятия, а также включает многочис-
ленные приложения высшей математики в экономике. Они охва-
тывают важнейшие понятия и разделы математической эконо-
мики и финансовой математики (балансовые модели, производ-
ственные функции, предельный анализ, эластичность функций
и т. д.). Всюду, где это возможно, раскрывается экономический
смысл математических понятий (например, производной, инте-
грала, частных производных и т. д.) и приводятся математиче-
ские формулировки ряда экономических законов (закон убы-
вающей доходности, закон оптимального объема выпуска и из-
держки производства, закон максимизации прибыли, критерий
сбалансированности международной торговли и др.). Все эти
приложения доступны студентам младших курсов и не требуют
дополнительных экономических знаний. В целом книга явля-
ется самодостаточной, при работе с ней нет нужды в каких-то
других источниках.
При написании книги авторы стремились излагать материал
на доступном и строгом математическом языке.
Данная книга адресована в первую очередь студентам эко-
номических специальностей вузов. Однако она, безусловно, мо-
жет быть полезной также для экономистов и лиц, занимающих-
ся самообразованием.
Авторы выражают свою благодарность заведующему ка-
федрой высшей математики Государственного университе-
та управления (ГУУ) профессору В.В. Лебедеву, заведую-
щему кафедрой высшей математики Всероссийского заочно-
го финансово-экономического института (ВЗФЭИ) профессору
Н.Ш. Кремеру и профессору В.Л. Клюшину за рецензирование
данной книги и ценные замечания, которые, несомненно, спо-
собствовали улучшению содержания учебника.
Авторы выражают также благодарность ректору Академии
труда и социальных отношений профессору В.А. Каменецкому
и проректору по учебной и научной работе профессору М.А.
Давтяну за внимание и доброжелательное отношение к данному
учебнику.
Москва, октябрь 2009 г. Авторы
В настоящее время в связи с возросшей ролью математики
в экономической науке будущие экономисты нуждаются в се-
рьезной математической подготовке, которая давала бы возмож-
ность математическими методами исследовать широкий круг
экономических задач и использовать теоретические знания на
практике. Для этого, по меньшей мере, необходимо получение
ими правильного общего представления о том, что такое мате-
матика и математическое моделирование.
Несомненно, математика имеет определенное мировоззрен-
ческое значение, но для специалистов по экономике математика
является в большей мере инструментом анализа, организации,
управления.
Принципиальной проблемой математического образования
является выбор объема и содержания математических курсов,
учитывая ограниченность времени, отводимого на изучение ма-
тематики.
С учетом этих реалий и написана данная книга. Она содер-
жит 34 лекции и охватывает традиционный курс высшей ма-
тематики для экономических специальностей вузов, рассчитан-
ный, как правило, на один учебный год. Книгу можно разде-
лить условно на следующие разделы: основы линейной алгеб-
ры (лекции 1-5, 10-11), аналитическая геометрия (лекции 7-9,
12-14), основы математического анализа (лекции 15-21, 23-27),
комплексные числа (лекция 22), дифференциальные уравнения
(лекции 28-31), ряды (лекции 32-34). Отдельная лекция 6 посвя-
щена балансовому анализу.
Книга содержит достаточно много примеров, иллюстриру-
12
ющих рассматриваемые понятия, а также включает многочис-
ленные приложения высшей математики в экономике. Они охва-
тывают важнейшие понятия и разделы математической эконо-
мики и финансовой математики (балансовые модели, производ-
ственные функции, предельный анализ, эластичность функций
и т. д.). Всюду, где это возможно, раскрывается экономический
смысл математических понятий (например, производной, инте-
грала, частных производных и т. д.) и приводятся математиче-
ские формулировки ряда экономических законов (закон убы-
вающей доходности, закон оптимального объема выпуска и из-
держки производства, закон максимизации прибыли, критерий
сбалансированности международной торговли и др.). Все эти
приложения доступны студентам младших курсов и не требуют
дополнительных экономических знаний. В целом книга явля-
ется самодостаточной, при работе с ней нет нужды в каких-то
других источниках.
При написании книги авторы стремились излагать материал
на доступном и строгом математическом языке.
Данная книга адресована в первую очередь студентам эко-
номических специальностей вузов. Однако она, безусловно, мо-
жет быть полезной также для экономистов и лиц, занимающих-
ся самообразованием.
Авторы выражают свою благодарность заведующему ка-
федрой высшей математики Государственного университе-
та управления (ГУУ) профессору В.В. Лебедеву, заведую-
щему кафедрой высшей математики Всероссийского заочно-
го финансово-экономического института (ВЗФЭИ) профессору
Н.Ш. Кремеру и профессору В.Л. Клюшину за рецензирование
данной книги и ценные замечания, которые, несомненно, спо-
собствовали улучшению содержания учебника.
Авторы выражают также благодарность ректору Академии
труда и социальных отношений профессору В.А. Каменецкому
и проректору по учебной и научной работе профессору М.А.
Давтяну за внимание и доброжелательное отношение к данному
учебнику.
Москва, октябрь 2009 г. Авторы
